Question

20．設(shè)集合A={（x，y）|（x-4）²+y²=1}，B={（x，y）|（x-t）²+（y-at+2）²=1}，如果命題“?t∈R，A∩B=∅”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）
• B． （0，$\frac{4}{3}$]
• C． [0，$\frac{4}{3}$]
• D． （-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 集合A、B分別表示兩個(gè)圓：圓心M（4，0），r₁=1和圓心N（t，at-2），r₂=1，且兩圓一定有公共點(diǎn)，從而得到（a²+1）t²-（8+4a）t+16≤0．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵集合A、B分別表示兩個(gè)圓，
圓心M（4，0），r₁=1，
N（t，at-2），r₂=1，
?t∈R，A∩B≠∅，則兩圓一定有公共點(diǎn)，
|MN|=$\sqrt{（t-4）^{2}+（at-2）^{2}}$，0≤|MN|≤2，
即|MN|²≤4，化簡(jiǎn)得，（a²+1）t²-（8+4a）t+16≤0．
∵a²+1＞0，
∴△=（8+4a）²-4（a²+1）×16≥0，
即3a²-4a≤0，
∴0≤a≤$\frac{4}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．