Question

16．已知點(diǎn)P是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，一定點(diǎn)Q（1，0）．有3個(gè)點(diǎn)P使得|PQ|=2成立；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{（2x-1）^{2}}{9}$+4y²=1．

Answer 1

分析 橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1的右頂點(diǎn)（3，0），滿足題意，因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為（-3，0），所以根據(jù)對(duì)稱性，原點(diǎn)左側(cè)，同樣有2個(gè)點(diǎn)，滿足題意，即可得出結(jié)論；利用代入法，可求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1的右頂點(diǎn)（3，0），滿足題意，
因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為（-3，0），所以根據(jù)對(duì)稱性，原點(diǎn)左側(cè)，同樣有2個(gè)點(diǎn)，滿足題意，
所以有3個(gè)點(diǎn)P使得|PQ|=2成立；
設(shè)線段PQ中點(diǎn)M（x，y），P（a，b），則a=2x-1，b=2y，
代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1可得$\frac{（2x-1）^{2}}{9}$+4y²=1，即線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{（2x-1）^{2}}{9}$+4y²=1．
故答案為：3；$\frac{（2x-1）^{2}}{9}$+4y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用代入法是關(guān)鍵．