Question

如圖，某園林綠化單位準(zhǔn)備在一直角ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”，規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花，其余地方種草，若AB=a，∠DAB=θ，種草的面積為S₁，種花的面積為S₂，比值

S1

S2

稱為“規(guī)劃和諧度”．
（I）試用a，θ表示S₁，S₂；
（II）若a為定值，BC＞AB．當(dāng)θ為何值時，“規(guī)劃和諧度”有最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析：（I）求出△ABD的面積為，設(shè)正方形BEFG的邊長為t，利用三角形的相似求出S₂，然后求出S₁
（II）由（I）

S1

S2

，通過tanθ∈（0，+∞），通過基本不等式推出，當(dāng)θ=

π

4

時，

S1

S2

有最小值1．

解答：解：（I）∵BD=atanθ，
∴△ABD的面積為

1

2

a2tanθ(θ∈(0，

π

2

））…（2分）
設(shè)正方形BEFG的邊長為t，
則由

FG

AB

=

DG

DB

，得

t

a

=

atanθ-t

atanθ

，解得t=

atanθ

1+tanθ

，…（4分）
∴S₂=

a2tan2θ

(1+tanθ)2

，
∴S₁=

1

2

a2tanθ-S2=

1

2

a2tanθ-

a2tan2θ

(1+tanθ)2

．…（6分）
（II）由（I）

S1

S2

=

(1+tanθ)2

2tanθ

-1，…（8分）
∵tanθ∈（0，+∞），
∴

S1

S2

=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

+2)-1=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

）≥1，…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=1時取等號，此時θ=

π

4

．
∴當(dāng)θ=

π

4

時，

S1

S2

有最小值1．…（12分）

點評：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．