Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）易求a₁=1，由題意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），兩式相減后變形可得a_n+1+1=2（a_n+1），根據(jù)等比數(shù)列的定義可得結(jié)論，利用等比數(shù)列通項公式可求a_n+1，進(jìn)而可得a_n；
（2）由于

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

＞

2n-1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

，再由等差和等比數(shù)列求和公式，即可得證．

解答： （1）證明：n=1時，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由題意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
兩式相減得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1，即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2．
∴數(shù)列{a_n+1}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（2）證明：由于

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

＞

2n-1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

，
則有

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞（

1

2

+

1

2

+…+

1

2

）-（

1

4

+

1

8

+…+

1

2n+1

）
=

n

2

-

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

＞

n

2

-

1

2

．
則原不等式成立．

點評：本題考查數(shù)列的通項和前n項和間的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查數(shù)列不等式的證明方法：運用放縮法證明，考查推理能力，屬于中檔題．