已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓O：x2+y2=
3b2
4
，若C上存在點P，使得過點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B，滿足∠APB=60°，則橢圓C的離心率取值范圍是
 
．
考點：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：利用條件判斷出O、P、A、B四點共圓，由三角函數(shù)求得|OP|的長，根據(jù)|OP|的范圍和橢圓離心率、性質(zhì)，列出不等式求出橢圓的離心率的取值范圍．
解答： 解：連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點共圓，
∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，|OA|=
3
2
b
∴cos∠AOP=
OA
OP
，則|OP|=
3
2
b
1
2
=
3
b，
∵b＜|OP|≤a，
∴
3
b≤a，∴3b2≤a2，即3（a2-c2）≤a2，
∴2a2≤3c2，則
2
3
≤
c2
a2
，即e≥
6
3
，
又0＜e＜1，則
6
3
≤e＜1，
故答案為：[
6
3
，1)．
點評：本題考查橢圓的離心率，四點共圓的性質(zhì)，及三角函數(shù)的概念，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列函數(shù)中，在（-∞，0）上是增函數(shù)的是（　　）
A、y=lgx
B、y=3x
C、y=x-1
D、y=-（x+1）2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a=ln2，b=log32，c=log3tan
π
3
，則（　�。�
A、b＞c＞a
B、b＞a＞c
C、c＞a＞b
D、a＞b＞c

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)
i
1-i
對應(yīng)的點位于第
 
象限．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=1，
a
與
b
的夾角為60°，
x
=2
a
-
b
，
y
=3
b
-
a
，則
x
與
y
的夾角的余弦值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，以原點O為圓心的兩個同心圓的半徑分別為3和1，過原點O的射線交大圓于點p，交小圓于點q，p在y軸上的射影為M，動點N滿足
PM
=λ
PN
且
PM
•
QN
=0．
（1）求點N的軌跡方程；
（2）過點A（1，0）作斜率分別為k1，k2的直線l1，l2與點N的軌跡分別交于E，F(xiàn)兩點，k1•k2=-9，求證：直線EF過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn+n=2an（n∈N*）．
（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＞
n
2
-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中，不正確的個數(shù)為（　�。�
①“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分條件；
②命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＞1；
③命題“若x，y都是偶數(shù)，則x+y是偶數(shù)”的否命題是“若x，y不是偶數(shù)，則x+y不是偶數(shù)”；
④命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)，q：正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)，則（?p）∨（?q）為真命題．
⑤“m＜
1
4
”是“一元二次方程x2+x+m=0有實數(shù)解”的充分非必要條件．
A、0個B、1個C、2個D、3個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
x2
-4x-12的定義域．

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同步練習(xí)冊答案