Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=acosx-x+b（a，b∈R），且函數(shù)f（x）在x=-$\frac{π}{6}$處取得極值．
（1）求a的值；
（2）若?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得f（x）＜3cosx-sinx成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用函數(shù)f（x）在x=-$\frac{π}{6}$處有極值，可得f′（-$\frac{π}{6}$）=0，求出a的值，
（2）將問題轉(zhuǎn)化為?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得b＜x+cosx-sinx對(duì)x∈[0，$\frac{π}{2}$]成立，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=acosx-x+b，f′（x）=-asinx-1，
若函數(shù)f（x）在x=-$\frac{π}{6}$處取得極值，
則f′（-$\frac{π}{6}$）=-asin（-$\frac{π}{6}$）-1=0，解得：a=2；
（2）由（1）得：f（x）=2cosx-x+b，
若?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使得f（x）＜3cosx-sinx成立，
即?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，b＜x+cosx-sinx成立，
記g（x）=x+cosx-sinx，g′（x）=1-sinx-cosx=1-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
∴g'（x）≤0，即g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＜1，
故b的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)最值與極值，考查函數(shù)的恒成立問題，三角恒等變換，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．