Question

1．設數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，數列{b_n}滿足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}為等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）由數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，利用等比數列的通項公式即可得出a_n．由于數列{b_n}滿足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}為等差數列，設公差為d．可得3d=（b₄-a₄）-（b₁-a₁），解得d．即可得出b_n．
（II）利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）∵數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，
∴數列{a_n}是等比數列，首項為1，公比為3，∴a_n=3^n-1．
∵數列{b_n}滿足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}為等差數列，設公差為d．
∴3d=（b₄-a₄）-（b₁-a₁）=（31-3³）-（2-1）=3，解得d=1．
∴b_n-a_n=1+（n-1）=n，∴b_n=n+3^n-1．
（II）數列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{{n}^{2}+n+{3}^{n}-1}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．