Question

11．已知點P（1，-2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上．
（1）求拋物線C的方程及其準線方程；
（2）若過拋物線C焦點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩個不同點，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點P（1，-2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，可得p值，即可求拋物線C的方程及其準線方程；
（2）設(shè)直線l的方程為：x+my-1=0，代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0，利用韋達定理和拋物線的定義知|AB|=4（m²+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．

解答 解：∵點P（1，-2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，
∴2p=4，解得：p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x，準線方程為x=-1；
（2）設(shè)直線l的方程為：x+my-1=0，
代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁，y₂是上述關(guān)于y的方程的兩個不同實根，所以y₁+y₂=-4m
根據(jù)拋物線的定義知：|AB|=x₁+x₂+2=（1-my₁）+（1-my₂）=4（m²+1）
∴|AB|=4（m²+1）≥4，
當且僅當m=0時，|AB|有最小值4．

點評 本題考查的知識點是拋物線的簡單性質(zhì)，考查弦的最小值的求法．屬于中檔題．