Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP． （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M為棱PD中點(diǎn)，求證：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于 ？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB ∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，
∴直線BA，BP，BC兩兩垂直，
以B為原點(diǎn)，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1， ），
∴ =（﹣1，0， ）， =（0，2，0）．
∵BP⊥平面ABCD，∴ 為平面ABCD的一個(gè)法向量，
∵ =﹣1×0+0×2+ =0，
∴ ⊥ ．又EM平面ABCD，
∴EM∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為 ．
理由如下：
∵ =（2，﹣2，1）， =（2，0，0），
設(shè)平面PCD的法向量為 =（x，y，z），則 ．
令y=1，得 =（0，1，2）．
假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于 ．
設(shè) =λ =（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴ = + =（2λ，2﹣2λ，λ）．
∴|cos＜ ， ＞|= = ．
∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或 （舍去）．
∴當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于 ．

【解析】（I）證明BP⊥平面ABCD，以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則 為平面ABCD的法向量，求出 =﹣1×0+0×2+ =0，從而有EM∥平面ABCD；（II）假設(shè)存在點(diǎn)N符合條件，設(shè) =λ ，求出 ，平面PCD的法向量 的坐標(biāo)，令|cos＜ ， ＞|= = 解出λ，根據(jù)λ的值得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．