【題目】已知定義域?yàn)椋?,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:
①x>1時(shí),f(x)<0;
②f( )=1;
③對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求證:f( )=﹣f(x);
(2)求證:f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù);
(3)求滿足不等式f(log0.5m+3)+f(2log0.5m﹣1)≥﹣2的m集合.
【答案】
(1)證明:令 , ,得f(1)=0,
令 , ,得
(2)證明:設(shè)x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)= = ,
∵x1>x2,∴ ,∴ ,即f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x)2,
∴f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)
(3)解:∵ ,∴ .
f(log0.5m+3)+f(2log0.5m﹣1)≥﹣2,f(log0.5m+3)+f(2log0.5m﹣1)≥f(4),即f[(log0.5m+3)(2log0.5m﹣1)]≥f(4),
∵f(x)定義域上是減函數(shù)(log0.5m+3)(2log0.5m﹣1)≤4,
∴
∴ ,
不等式的解集
【解析】賦特殊值,令x=y=1,即可求得f(1)=0,令y = ,即可證得,(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義,設(shè)值作差即可,(3)根據(jù)題意可求得f(4)=-2,從而可得f(5-x)≥f(2),再利用f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù),即可求得其解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=2x﹣2,則不等式f(log2x)>0的解集為( )
A.(0, )
B.( ,1)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(0, )∪(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+6.
(Ⅰ)解關(guān)于a的不等式f(1)>0;
(Ⅱ)若不等式f(x)>b的解集為(﹣1,3),求實(shí)數(shù)a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬(wàn)元,且R(x)= .
(1)求年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大,并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1,BC= ,則異面直線A1C與B1C1所成的角為 . .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (其中常數(shù)a>0,且a≠1).
(1)當(dāng)a=10時(shí),解關(guān)于x的方程f(x)=m(其中常數(shù)m>2 );
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣∞,2]上的最小值是一個(gè)與a無(wú)關(guān)的常數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)直接寫出函數(shù)f(x)的值域;
(3)求 f[f(﹣1)]的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)fk(x)=2x﹣(k﹣1)2﹣x(k∈Z),x∈R,g(x)= .
(1)若f2(x)=2,求x的值.
(2)判斷并證明函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)y=f0(2x)+2mf2(x)在x∈[1,+∞)上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,平面ABCD∩平面ABPE=AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP. (Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M為棱PD中點(diǎn),求證:EM∥平面ABCD;
(Ⅱ)線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于 ?若存在,試確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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