Question

如圖，多面體ABCDS中，四邊形ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，M，N分別為AB，CD中點(diǎn)．
（1）求異面直線SM，AN所成的角；
（2）若二面角A-SC-D大小為60°，求SD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）幾何法：由三垂線定理得，SM⊥AN，∴直線SM，AN所成的角90°；
向量法：以D為原點(diǎn)，分別以DS，DA，DC為x，y，z軸建系，

AN

•

SM

=0，故SM與AN成90°角；
（2）幾何法：過D作DE⊥SC于E，連AE則∠AED為所求二面角A-SC-D的平面角60°，后解三角形；向量法：設(shè)平面ASC的一個法向量為

n1

，平面SDC的一個法向量為

n2

，二面角A-SC-D大小為60°，求得坐標(biāo)中的參數(shù)即可．

解答： 法一（幾何法）：（1）解：∵SD⊥AD，SD⊥AB，
∴SD⊥面ABCD，連接MN，則由已知，AMND為正方形，
連DM，則DM⊥AN，
又DM是SM在面ABCD上的射影，由三垂線定理得，SM⊥AN，
∴直線SM，AN所成的角90°；
（2）∵AD⊥CD，AD⊥SD，
∴AD⊥面SCD，過D作DE⊥SC于E，連AE則∠AED為所求二面角A-SC-D的平面角60°則在R△ADE中易得DE=

3

3

，
設(shè)SD=a，在Rt△SDC中，DE=

2a

a2+4

=

3

3

，∴SD=a

2 11

11

．
法二：（向量法）解：（1）以D為原點(diǎn)，分別以DS，DA，DC為x，y，z軸建系，
則A（0，1，0），N（0，0，1），M（0，1，1），C（0，0，2），
設(shè)S（a，0，0），則

AN

=（0，-1，1），

SM

=（-a，1，1），

AN

•

SM

=0，
故SM與AN成90°角；
（2）設(shè)平面ASC的一個法向量為

n1

=（x，y，z）

AS

=（a，-1，0），

AC

=（0，-1，2），
由

n1 • AC =0 n1 • AS =0

，⇒

n1

=（2，2a，a），
又平面SDC的一個法向量為

n2

=（0，1，0），
由題意：cos60°=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

2a

4+4a2+a2

，
∴SD=a=

2 11

11

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成的角，二面角的平面角，即可用幾何法，也可向量法，兩種方法都要熟練掌握．