Question

已知函數f（x）=mx-m-2lnx（m∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，證明：當0＜x₁＜x₂時，

f(x2)-f(x1)

2

＞（1-

1

x1

）（x₂-x₁）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的定義域和導數，根據函數單調性和導數之間的關系，即可討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）根據若f（x）≥0恒成立，討論m的取值范圍，結合函數的單調性證明不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞），
函數的導數f′（x）=

mx-2

x

，
若m≤0，則f′（x）=

mx-2

x

＜0，此時函數在（0，+∞）上遞減，
若m＞0，則由f′（x）＞0，解得x＞

2

m

，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

m

，此時函數單調遞減，
故當m≤0，函數的單調遞減區(qū)間為（0，+∞），
當m＞0，函數的單調遞減區(qū)間為（0，

2

m

），單調遞增區(qū)間為（

2

m

，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m≤0，則f′（x）＜0，函數f（x）在（0，+∞）上遞減，
∵f（1）=0，∴f（x）≥0不恒成立，
若m＞2，當x∈（

2

m

，1）時，f（x）單調遞增，f（x）＜f（1）=0，不合題意，
若0＜m＜2，當x∈（1，

2

m

）時，f（x）單調遞減，f（x）＜f（1）=0，不合題意，
若m=2，當x∈（0，1）上單調遞減，f（x）在（1，+∞）單調遞增，f（x）≥f（1）=0，符合題意，
故m=2時，且lnx≤x-1，（當且僅當x=1時取等號），
當0＜x₁＜x₂時，f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln

x2

x1

]，
∵ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，∴f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln

x2

x1

]＞2[（x₂-x₁）-（

x2

x1

-1）]
=2（x₂-x₁）（1-

1

x1

），
因此

f(x2)-f(x1)

2

＞(1-

1

x1

)(x2-x1)．

點評：本題主要考查函數單調性和導數的關系，以及函數最值的應用，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．