Question

3．已知過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FA}$，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和拋物線的方程，表示出y₁和y₂的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)過F的直線斜率為k，
則y=k（x-1），聯(lián)立y²=4x得ky²-4y-4k=0，
則y₁y₂=-4，
∵$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FA}$，
∴（1-x₂，-y₂）=2（x₁-1，y₁）
得-y₂=2y₁，得-y₁y₂=2y₁y₁，
即-（-4）=2y₁²，
則y₁²=2，
即y₁²=2=4x₁，
即x₁=$\frac{1}{2}$，
則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，利用直線和拋物線相交的位置關(guān)系，結(jié)合向量之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．