Question

若函數(shù)f（x）=-

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

（ω＞0）的圖象與直線y=m相切，并且相鄰兩個切點(diǎn)的距離為

π

2

．
（1）求ω，m的值；
（2）將y=f（x）的圖象向右平移φ個單位后，所得的圖象C對應(yīng)的函數(shù)g（x）恰好是偶函數(shù)，求最小正數(shù)φ，并求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先根據(jù)題中的已知條件函數(shù)f（x）=-

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

（ω＞0）的圖象與直線y=m相先確定m的值，然后根據(jù)周期確定ω的值．
（2）以函數(shù)圖形的平移為出發(fā)點(diǎn)，以偶函數(shù)為突破口，進(jìn)一步確定g（x）的解析式，然后確定單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

（ω＞0）的圖象與直線y=m相切
∴m=

2

2

+

1

2

或

1

2

-

2

2

∵相鄰兩個切點(diǎn)的距離為

π

2

．
∴T=

π

2

=

2π

2ω

∴ω=2
（2）∵f（x）=-

2

2

sin（4x+

π

4

）+

1

2

圖象向右平移φ個單位后得到g（x）=-

2

2

sin[4（x-Φ）+

π

4

]+

1

2

將y=f（x）的函數(shù)g（x）恰好是偶函數(shù)
即：

π

4

-4Φ=kπ+

π

2

（k∈Z）
解得Φ=

3π

16

g（x）=

2

2

cos4x+

1

2

∴2kπ-π≤4x≤2kπ（k∈Z）
單調(diào)遞增區(qū)間為：{x|

kπ

2

-

π

4

≤x≤

kπ

2

(k∈Z)}
故答案為：（1）m=

2

2

+

1

2

或

1

2

-

2

2

ω=2
（2）g（x）=

2

2

cos4x+

1

2

  單調(diào)遞增區(qū)間為：{x|

kπ

2

-

π

4

≤x≤

kπ

2

(k∈Z)}

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：正弦型三角函數(shù)的圖象，周期，單調(diào)性，奇偶性，以及誘導(dǎo)公式的變形．