【題目】已知函數(shù)f(x)=6cos2+sinωx-3(ω>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B、C為圖象與x軸的交點,且△ABC為正三角形.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x0)=,且x0∈(-,),求f(x0+1)的值.
【答案】(1)函數(shù)f(x)的值域為[-2,2].
(2)
【解析】解:(1)由已知可得f(x)=6cos2+sinωx-3=3cosωx+sinωx=2sin(ωx+),
又正三角形ABC的高為2,則|BC|=4,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=4×2=8,即=8,得ω=,
函數(shù)f(x)的值域為[-2,2].
(2)因為f(x0)=,由(1)得
f(x0)=2sin(+)=,
即sin(+)=,
由x0∈(-,),得+∈(-,),
即cos(+)==,
故f(x0+1)=2sin(++)
=2sin[(+)+]
=2[sin(+)cos+cos(+)sin]
=2×(×+×)
=.
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【題目】已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當x≥0時,f(x)= .g(x)= ,
(1)求當x<0時,函數(shù)f(x)的解析式,并在給定直角坐標系內(nèi)畫出f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上的圖象;(不用列表描點)
(2)根據(jù)已知條件直接寫出g(x)的解析式,并說明g(x)的奇偶性.
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【題目】定義在區(qū)間[﹣2,t](t>﹣2)上的函數(shù)f(x)=(x2﹣3x+3)ex(其中e為自然對數(shù)的底).
(1)當t>1時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設m=f(﹣2),n=f(t),求證:m<n;
(3)設g(x)=f(x)+(x﹣2)ex , 當x>1時,試判斷方程g(x)=x的根的個數(shù).
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【題目】中國古代算書《孫子算經(jīng)》中有一著名的問題“物不知數(shù)”如圖1,原題為:今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?后來,南宋數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)學九章》中對此類問題的解法做了系統(tǒng)的論述,并稱之為“大衍求一術”,如圖2程序框圖的算法思路源于“大衍求一術”執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為20,17,則輸出的c=( )
A.1
B.6
C.7
D.11
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【題目】化簡
(1)
(2)
【答案】(1) ;(2) .
【解析】試題分析:(1)切化弦可得三角函數(shù)式的值為-1
(2)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得三角函數(shù)式的值為
試題解析:
(1)tan70°cos10°( tan20°﹣1)
=cot20°cos10°( ﹣1)
=cot20°cos10°( )
=×cos10°×()
=×cos10°×()
=×(﹣)
=﹣1
(2)∵(1+tan1°)(1+tan44°)=1+(tan1°+tan44°)+tan1°tan44°
=1+tan(1°+44°)[1﹣tan1°tan44°]+tan1°tan44°=2.
同理可得(1+tan2°)(1+tan43°)
=(1+tan3°)(1+tan42°)
=(1+tan4°)(1+tan41°)=…=2,
故=
點睛:三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:一看角,這是重要一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進行合理的拆分,從而正確使用公式 ;二看函數(shù)名稱,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有切化弦;三看結(jié)構(gòu)特征,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如遇到分式要通分等.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】平面內(nèi)給定三個向量
(1)求
(2)求滿足的實數(shù).
(3)若,求實數(shù).
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【題目】一個袋子里裝有7個球,其中有紅球4個,編號分別為1,2,3,4;白球3個,編號分別為2,3,4.從袋子中任取4個球(假設取到任何一個球的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4個球中,含有編號為3的球的概率;
(Ⅱ)在取出的4個球中,紅球編號的最大值設為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(x﹣1)ex .
(1)當a=﹣ 時,求f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)當﹣ <a<﹣ 時,f(x)是否存在極值?若存在,求所有極值的和的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(3)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并加以證明.
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【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1.設.
(1)求的值;
(2)若不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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