Question

8．在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1，且n∈N₊．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=tana_n•tana_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意知：T_n=10ⁿ⁺²．可得a_n=lgT_n．
（2）由tan[（n+3）-（n+2）]=$\frac{tan（n+3）-tan（n+2）}{1+tan（n+3）tan（n+2）}$=tan1．可得tan（n+3）tan（n+2）=$\frac{tan（n+3）-tan（n+2）}{tan1}$-1．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由題意知：T_n=10ⁿ⁺²．
∴a_n=lgT_n=n+2．
（2）∵tan[（n+3）-（n+2）]=$\frac{tan（n+3）-tan（n+2）}{1+tan（n+3）tan（n+2）}$=tan1．
∴tan（n+3）tan（n+2）=$\frac{tan（n+3）-tan（n+2）}{tan1}$-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n和S_n=tan（1+2）tan（1+3）+tan（2+2）tan（2+3）+…+tan（n+2）tan（n+3）
=$\frac{1}{tan1}$[tan（1+3）-tan（1+2）+tan（2+3）-tan（2+2）+…+tan（n+3）-tan（n+2）]-n
=$\frac{tan（n+3）-tan3}{tan1}$-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．