Question

4．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），對(duì)一切的x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，對(duì)任意正數(shù)a，b，若a＜b，則有（　　）

• A． bf（lna）＜af（lnb）
• B． bf（lna）=af（lnb）
• C． bf（lna）＞af（lnb）
• D． bf（lna）與af（lnb）的大小不確定

Answer 1

分析 由題意可知f'（x）-f（x）＞0，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，則g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，由lna＜lnb，則g（lna）＜g（lnb），即可求得bf（lna）＜af（lnb）．

解答 解：由f'（x）＞f（x），即f'（x）-f（x）＞0，
設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，g（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴g（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
由任意正數(shù)a，b，且a＜b，則lna＜lnb，
∴g（lna）＜g（lnb），則$\frac{f（lna）}{a}$＜$\frac{f（lnb）}$，
∴bf（lna）＜af（lnb），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．