Question

橢圓

x2

45

+

y2

m

=1（0＜m＜45）的焦點分別是F₁和F₂，已知橢圓的離心率e=

5

3

，過橢圓的中心O作直線與橢圓交于A，B兩點，O為原點，若△ABF₂的面積是20，求：
（1）m的值
（2）直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知e=

c

a

=

5

3

，a=

45

=3

5

，由此能求出m的值．
（2）根據(jù)題意S△ABF2=S△F1F2B=20，設B（x，y），則S△F1F2B=

1

2

•|F1F2||y|，|F₁F₂|=2c=10，由此能求出直線AB的方程．

解答： 解：（1）由已知e=

c

a

=

5

3

，
a=

45

=3

5

，解得c=5，
∴m=b²=a²-c²=45-25=20
（2）根據(jù)題意S△ABF2=S△F1F2B=20，
設B（x，y），則S△F1F2B=

1

2

•|F1F2||y|，
|F₁F₂|=2c=10，
∴y=±4，把y=±4代入橢圓的方程

x2

45

+

y2

20

=1，解得x=±3，
∴B點的坐標為（±3，±4），
∴直線AB的方程為y=

4

3

x或y=-

4

3

x．

點評：本題考查橢圓中參數(shù)的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．