Question

在自然條件下，某草原上野兔第n年年初的數(shù)量記為x_n，該年的增長量y_n和x_n與1-

xn

m

的乘積成正比，比例系數(shù)為λ（0＜λ＜1），其中m是與n無關(guān)的常數(shù)，且x₁＜m，
（1）證明：y_n≤

λm

4

；
（2）用x_n表示x_n+1，并證明草原上的野兔總數(shù)量恒小于m．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意列出關(guān)系式，通過平方利用惡心還是的最大值，證明：y_n≤

λm

4

；
（2）用x_n表示x_n+1，利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明草原上的野兔總數(shù)量恒小于m．

解答： 解：（1）由題意知γn=λxn(1-

xn

m

)，配方得：γn=-

λ

m

(xn-

m

2

)2+

λm

4

，
∵-

λ

m

＜0，
∴當(dāng)且僅當(dāng)xn=

m

2

時，γ_n取得最大值

λm

4

，即γ≤

λm

4

（5分）
（2）xn+1=xn+λ(1-

xn

m

)xn（8分）
用數(shù)列歸納法證明：
當(dāng)n=1時，由題意知x₁＜m，故命題成立
假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立．xk+1=-

λ

m

x

2 k

+(λ+1)xk是x_k的一個二次函數(shù)，f(x)=-

λ

m

x2+(λ+1)x，
f（x）有對稱軸x=

λ+1

2λ

m，開口向下，
由λ＜1，則

λ+1

2λ

m＞

λ+λ

2λ

m=m，于是在（-∞，m）上均有f（x）＜f（m）=m
取x=x_k，即知x_k+1＜m∴當(dāng)n=k+1時，命題成立，
綜上知，對一切正整數(shù)n，x_n＜m這就是說該草原上的野兔數(shù)量不可能無限增長        （13分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合問題，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查計算能力．