Question

已知f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，
（1）求f（x）的周期
（2）若a＞0，求f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)的x的集合．
（3）若x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常數(shù)a、b∈Q，使得f（x）的值域?yàn)閧y|-3≤y≤

3

-1}？若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期為

2π

ω

，求得結(jié)果．
（2）由條件根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)的x的集合．
（3）由x∈[

π

4

，

3π

4

]，可得sin（ 2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]．分①當(dāng)a＞0時(shí)、②當(dāng)a＜0時(shí)兩種情況分別求得a、b的值，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，∴T=π．
（2）∵a＞0，∴f（x）_max=-2a×（-1）+2a+b=4a+b．
由2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z，解得x=kπ-

π

3

，k∈Z，
∴取得最大值時(shí)的x的集合為：{x|x=kπ-

π

3

，k∈Z}．
（3）存在a=-1，b=1，滿足條件．
∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

3

]，
∴sin（ 2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]．
若存在這樣的有理數(shù)a、b，則
①當(dāng)a＞0時(shí)，

- 3 a+2a+b=-3 2a+2a+b= 3 -1

，這不可能；
②當(dāng)a＜0時(shí)，

2a+2a+b=-3 - 3 a+2a+b= 3 -1

，解得a=-1，b=1，
故存在a=-1，b=1，滿足條件．

點(diǎn)評：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、最值、定義域和值域，屬于中檔題．