Question

18．已知函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]．
（1）求該函數(shù)的定義域；
（2）求該函數(shù)的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）對于函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]，由sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，可得x+$\frac{π}{4}$∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）本題即求函數(shù)t=sin（x+$\frac{π}{4}$）在函數(shù)值大于零時的減區(qū)間，令2kπ＜x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x的范圍，可得結論．

解答 解：（1）對于函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]，由sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，求得x+$\frac{π}{4}$∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z，
即 x∈（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），可得函數(shù)的定義域為 （2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z．
（2）函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]的增區(qū)間，即函數(shù)t=sin（x+$\frac{π}{4}$）在函數(shù)值大于零時的減區(qū)間，
令2kπ＜x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x∈（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，可得函數(shù)t在函數(shù)值大于零時的減區(qū)間為（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
即 y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]的增區(qū)間為 （2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調性、對數(shù)函數(shù)的單調性和定義域，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．