Question

6．在邊長為2的正三角形ABC中，M是BC邊上的中點，$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{NC}$，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=-1．

Answer 1

分析 將所求中的兩個向量分別利用三角形的兩邊$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示，然后計算向量的乘法運算．

解答 解：如圖
由已知邊長為2的正三角形ABC中，M是BC邊上的中點，$\overrightarrow{AN}$=2$\overrightarrow{NC}$，
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）（\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{4}{3}-\frac{4}{2}-\frac{1}{6}×{2}^{2}×\frac{1}{2}$=-1；
故答案為：-1．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則的運用以及數(shù)量積公式的運用；關鍵是將所求以$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$為基底表示出來．