Question

14．用長為16cm，寬為10cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四周的四個小矩形向上翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖），問該容器的高x為多少時，容器的容積V（x）最大？最大容積是多少？

Answer 1

分析 結(jié)合圖形根據(jù)題意即可得出容積V（x）=4x³-52x²+160x，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可求出函數(shù)V（x）的最大值，以及對應(yīng)的x值．

解答 解：據(jù)題意得，容器的底面長為16-2x，寬為10-2x，0＜x＜5；
∴容器的容積為V（x）=（16-2x）（10-2x）x=4x³-52x²+160x，0＜x＜5；
V′（x）=12x²-104x+160=4（x-2）（3x-20）；
∴0＜x＜2時，V′（x）＞0，2＜x＜5時，V′（x）＜0；
∴x=2時，V（x）取最大值144；
即該容器的高x=2時，容器的容積V（x）最大，最大容積是144cm³．

點評 本題考查長方體體積的計算，數(shù)形結(jié)合解題的方法，注意要正確確定x的范圍，基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)最值的方法．