Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，所以$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}（1-2lna）$，由此即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x…（1分）
=4（x-a）（lnx+1）（x＞0）…（2分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$上單調(diào)遞減，$[{\frac{1}{e}，+∞}）$上單調(diào)遞增…（3分）
②當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在（0，a）、$[{\frac{1}{e}，+∞}）$上單調(diào)遞增，在$（a，\frac{1}{e}）$上單調(diào)遞減…（4分）
③當(dāng)$a=\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增…（5分）
④當(dāng)$a＞\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$，（a，+∞）上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{e}，a）$上單調(diào)遞減…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，對(duì)任意x≥1，有f（x）≥f（1）=1＞0符合題意…（9分）
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
所以$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}（1-2lna）$…（10分）
由條件知，a²（1-2lna）＞0，解得$1＜a＜\sqrt{e}$…（11分）
綜上可知，$a＜\sqrt{e}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．