Question

1．設(shè)x＞0，y＞0，2x+y=2，則$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得x+1＞0，且$\frac{x+1}{2}$+$\frac{y}{4}$=1，可得$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{x+1}{2}$+$\frac{y}{4}$）=$\frac{5}{4}$+$\frac{y}{2（x+1）}$+$\frac{x+1}{2y}$，由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，2x+y=2，
∴x+1＞0，且2x+2+y=4，
∴2（x+1）+y=4，∴$\frac{x+1}{2}$+$\frac{y}{4}$=1，
∴$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{x+1}{2}$+$\frac{y}{4}$）
=$\frac{5}{4}$+$\frac{y}{2（x+1）}$+$\frac{x+1}{2y}$≥$\frac{5}{4}$+2$\sqrt{\frac{y}{2（x+1）}•\frac{x+1}{2y}}$=$\frac{9}{4}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{2（x+1）}$=$\frac{x+1}{2y}$即x=$\frac{1}{3}$且y=$\frac{4}{3}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{2}{x+1}$+$\frac{1}{y}$的最小值為$\frac{9}{4}$
故答案為：$\frac{9}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，正確變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．