Question

如圖所示，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為6的正方形鐵板，如果從鐵板的四個(gè)角各截出去一個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？

Answer 1

當(dāng)截下的正方形邊長(zhǎng)為1時(shí)，容積最大.

本題是考察導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題目先設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)x,然后建立容積V(x)的關(guān)系式，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于零，確定最值一般地在應(yīng)用題中，一般考察的都是單峰函數(shù)，導(dǎo)數(shù)等于零的位置只有一個(gè)，它就是要求的最值位置
解：設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)x，容器容積為
V（x），則做成長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器底面邊長(zhǎng)
為8-2x，高為X，于是
V（x）=（6-2x）² x，0<x<3
即      V（x）=4x³ -24x²+36x，0<x<3
有  V'（x）=12x²-48x+36
令V'（x）=0,即令12x²-48x+36=0
解得x₁=1，x₂=3（舍去）
當(dāng)0<x<1時(shí)，V'（x）>0;當(dāng)1<x<3時(shí)，V'（x）<0
因此x=1是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間（1,3）內(nèi)，是唯一的極值點(diǎn)，所以x=1是V（x）的最大值點(diǎn)
即當(dāng)截下的正方形邊長(zhǎng)為1時(shí)，容積最大