Question

10．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入R（x）（萬元）滿足R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x（0≤x≤5）}\\{0.05x+11（x＞5）}\end{array}\right.$，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：
（1）寫出利潤函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；
（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？

Answer 1

分析 （1）由題意得G（x）=2.8+x，由R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x，0≤x≤5}\\{0.05x+11，x＞5}\end{array}\right.$，f（x）=R（x）-G（x），能寫出利潤函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當x＞5時，由函數(shù)f（x）遞減，知f（x）＜f（5）=3.45（萬元）．當0≤x≤5時，函數(shù)f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，當x=4時，f（x）有最大值為3.6（萬元）．由此能求出工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多．

解答 解：（1）由題意得G（x）=2.8+x，
∵R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x，0≤x≤5}\\{0.05x+11，x＞5}\end{array}\right.$，
∴f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.2x-2.8，0≤x≤5}\\{8.2-0.95x，x＞5}\end{array}\right.$．
（2）當x＞5時，∵函數(shù)f（x）遞減，∴f（x）＜f（5）=3.45（萬元）．
當0≤x≤5時，函數(shù)f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
所以當x=4時，f（x）有最大值為3.6（萬元）．  
所以當工廠生產(chǎn)4百臺產(chǎn)品時，可使贏利最大，且最大值為3.6萬元．

點評 本題綜合考查了總成本=固定成本+生產(chǎn)成本、利潤=銷售收入-總成本、分段函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．