Question

1．如圖所示，A，B，C是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三個(gè)點(diǎn)，AB經(jīng)過原點(diǎn)O，AC經(jīng)過右焦點(diǎn)F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，則該雙曲線的離心率是$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，求得A的坐標(biāo)，由對(duì)稱得B的坐標(biāo)，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，
求得C的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，化簡(jiǎn)整理成離心率e的方程，代入選項(xiàng)即可得到答案．

解答 解：由題意可得在直角三角形ABF中，
OF為斜邊AB上的中線，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，
設(shè)A（m，n），則m²+n²=c²，
又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，解得m=$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}}{c}$，n=$\frac{^{2}}{c}$，
即有A（$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}}{c}$，$\frac{^{2}}{c}$），B（-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}}{c}$，-$\frac{^{2}}{c}$），
又F（c，0），
由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，
可設(shè)C（x，y），即有$\frac{y}{x-c}•\frac{^{2}}{{c}^{2}+a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}}$=-1，
又（c+$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}}{c}$）²+（$\frac{^{2}}{c}$）²=（x-c）²+y²，
可得x=$\frac{^{2}+{c}^{2}}{c}$，y=-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}+{c}^{2}}{c}$，
將C（$\frac{^{2}+{c}^{2}}{c}$，-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+^{2}}+{c}^{2}}{c}$）代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)可得$\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$（b²-a²）=a³，
由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，得（2e²-1）（e²-2）²=1，
可得e=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)在雙曲線上滿足方程，屬于難題．