Question

已知數(shù)列{a_n}有以下的特征：a₁=1，a₁，a₂，…，a₅是公差為1的等差數(shù)列；a₅，a₆，…，a₁₀是公差為d的等差數(shù)列；a₁₀，a₁₁，…，a₁₅是公差為d²的等差數(shù)列；…；a_5n，a_5n+1，a_5n+2，…，a_5n+5是公差為dⁿ的等差數(shù)列（n∈N^*），其中d≠0．設(shè)數(shù)列b_n滿(mǎn)足b_n=a_5n-a_5（n-1）（n≥2），b₁=a₅．
（Ⅰ） 求證數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ） 求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ） 當(dāng)d＞-1時(shí)，證明對(duì)所有正奇數(shù)n，總有Sn＞

5

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、根據(jù)已知條件便可求出當(dāng)n≥2時(shí)bn的通項(xiàng)公式，然后求出

bn+1

bn

=d，當(dāng)n=1時(shí)，

b2

b1

=d即可證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）、根據(jù)（Ⅰ）中求得的b_n的通項(xiàng)公式即可寫(xiě)出S_n的表達(dá)式，然后分別討論d=1和d≠1時(shí)Sn的表達(dá)式即可；
（Ⅲ）、根據(jù)中求得的S_n的表達(dá)式，然后分別證明當(dāng)b＞0時(shí)和-1＜b＜0時(shí)對(duì)所有正奇數(shù)n，Sn＞

5

2

．即可證明當(dāng)d＞-1時(shí)，證明對(duì)所有正奇數(shù)n，總有Sn＞

5

2

．

解答：解：（Ⅰ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_5n-a_5（n-1）=5d^n-1，
∴

bn+1

bn

=

5dn

5dn-1

=d（d≠0）．�。�2分）
又b₁=a₅=a₁+4×1=5，b₂=a₁₀-a₅=5d，
∴

b2

b1

=d，（3分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

bn-1

=d都成立，
故數(shù)列{b_n是以5為首項(xiàng)，d為公比的等比數(shù)列．（4分）

（Ⅱ）∵S_n=b₁+b₂+…+b_n=5+5d+5d²+…+5d^n-1
=

5(1-dn) 1-d ，(d≠1) 5n，(d=1)

（7分）

（Ⅲ）當(dāng)d∈（0，+∞）時(shí)，S_n=5+5d+5d²+…+5d^n-1＞5顯然成立（8分）
當(dāng)d∈（-1，0）時(shí)，1＜1-d＜2，又∵n為正奇數(shù)，
∴1＜1-dⁿ
故

1-dn

1-d

＞

1

2

，
∴Sn＞

5

2

．　　�。�10分）
或當(dāng)d∈（-1，0）時(shí)，又n為正奇數(shù)，則1+d＞0＞2dⁿ，所以2-2dⁿ＞1-d＞0．
因此

1-dn

1-d

＞

1

2

，∴Sn＞

5

2

．　�。�10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和以及數(shù)列與不等式的結(jié)合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．