Question

18．如圖，四邊形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，點F為PA的中點．
（1）求證：EF⊥平面PAD；
（2）求P到平面ADE的距離．

Answer 1

分析 （1）取AD中點G，連接FG，BG，則可證四邊形BGFE為平行四邊形．故EF∥BG，由△ABD是等邊三角形可得BG⊥AD，由PD⊥平面ABCD可得BG⊥PD，故BG⊥平面PAD，由EF∥BG可證EF⊥平面PAD，從而平面PAE⊥平面PAD；
（2）利用V_棱錐P-ADE=V_棱錐E-ADP，求P到平面ADE的距離．

解答 （1）證明：取AD中點G，連接FG，BG，連接BD．
∵點F為PA的中點，
∴FG∥PD且FG=$\frac{1}{2}$PD．
∵BE∥PD，且BE=$\frac{1}{2}$PD，
∴BE∥FG，BE=FG，
∴四邊形BGFE為平行四邊形．
∴EF∥BG，∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形．
∵G為AD中點，∴BG⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，
∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，
∴BG⊥平面PAD．
∵四邊形BGFE為平行四邊形，∴EF∥BG，
∴EF⊥平面PAD，又∵EF?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAD．
（2）解：設(shè)P到平面ADE的距離為h，則
∵△ABD為等邊三角形，AD=2，∴BG=$\sqrt{3}$，EG=2．
∵V_棱錐P-ADE=V_棱錐E-ADP，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$，
∴h=$\sqrt{3}$，
∴P到平面ADE的距離為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，考查點到平面距離的計算，是中檔題．