Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)），曲線C₂：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1．
（Ⅰ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，求C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）射線θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0）與C₁的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C₂的交點(diǎn)為B，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$可得C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求出A，B的極徑，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)）可化為普通方程：（x-1）²+y²=1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$可得曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+sin²θ）=2．
（Ⅱ）射線$θ=\frac{π}{6}（ρ≥0）$與曲線C₁的交點(diǎn)A的極徑為${ρ_1}=2cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$，
射線$θ=\frac{π}{6}（ρ≥0）$與曲線C₂的交點(diǎn)B的極徑滿足${ρ_2}^2（1+{sin^2}\frac{π}{6}）=2$，解得${ρ_2}=\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，
所以$|{AB}|=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}-\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程、直線與圓的相交問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．