Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，設(shè)E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，F(xiàn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF∥平面PAD．
（2）求出平面PBD的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角B-PD-C的正切值．

解答 證明：（1）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，F(xiàn)O，
∵在四棱錐P-ABCD中，
底面ABCD是邊長為1的正方形，
側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
設(shè)E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，
∴OA、OP、OF兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，$\frac{1}{2}$），C（-$\frac{1}{2}$，1，0），
E（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{3}{4}$，0，-$\frac{1}{4}$），
平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}$=0，且EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
解：（2）P（0，0，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{1}{2}，1，0$），C（-$\frac{1}{2}$，1，0），D（-$\frac{1}{2}$，0，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{2}，1$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{1}{2}$，1，-$\frac{1}{2}$），
設(shè)平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}x+y-\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-\frac{1}{2}a+b-\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
設(shè)二面角B-PD-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan$θ=\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角B-PD-C的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．