Question

19．已知f（x）=|sin$\frac{π}{4006}$x|，x∈[-2003，2003]．
（1）寫出滿足條件$\frac{1}{2}＜$f（x）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$的兩個(gè)整數(shù)x值（不要求證明）；
（2）若-2003≤x₁＜x₂＜x₃≤2003，且f（x₂）＜f（x₁）＜f（x₃），求證x₁x₃＜0且x₁+x₃＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦值，求出x的范圍，即可得到結(jié)論；
（2）畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=|sin$\frac{π}{4006}$x|，x∈[-2003，2003]，
∴f（x）∈[0，1]，
∵$\frac{1}{2}＜$f（x）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin$\frac{π}{6}$＜sin$\frac{π}{4006}$x＜sin$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{4006}$x＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{2003}{3}$＜x＜$\frac{4006}{3}$，
∴x取700，800，
（2）證明：f（x）=|sin$\frac{π}{4006}$x|，x∈[-2003，2003]，
畫出f（x）的圖象，如圖所示：滿足條件的三個(gè)值只有x₁在負(fù)半軸上，
左邊是單調(diào)遞減的，右邊是單調(diào)遞增的，
∴x₁x₃＜0且x₁+x₃＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，以及函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是畫圖，屬于中檔題．