Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

3

，a₂+a₃=

4

27

，且a_n＞0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出q=

1

3

，從而得到a_n=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）由b_n=

n

an

=n•3ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

3

，a₂+a₃=

4

27

，且a_n＞0．
∴

1

3

q+

1

3

q2=

4

27

，且q＞0，
解得q=

1

3

，
∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=

n

an

=n•3ⁿ，
∴S_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
3S_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3×(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=

3

4

+（

n

2

-

1

4

）•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．