Question

17．已知O為原點，雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$上有一點P，過P作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點分別為A，B，平行四邊形OBPA的面積為1，則雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 求出|OA|，P點到OA的距離，利用平行四邊形OBPA的面積為1，求出a，可得c，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：漸近線方程是：x±ay=0，設P（m，n）是雙曲線上任一點，
過P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0與OA方程：x-ay=0交點是A（$\frac{m+an}{2}$，$\frac{m+an}{2a}$），
|OA|=|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$，P點到OA的距離是：d=$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$
∵|OA|•d=1，
∴|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$•$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=1，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-n²=1，
∴a=2，∴雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
故答案為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．