Question

4．已知函數(shù)f（x）=x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-5（x∈[-2014，2014]）的最大值為M，最小值為m，則M+m=（　�。�

• A． -5
• B． -10
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）+5=x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），判斷g（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-2014，2014]時(shí)，設(shè)g（x）的最大值為g（a），則最小值為g（-a）=-g（a），即有M=g（a）-5，m=g（-a）-5，即可得到所求．

解答 解：函數(shù)f（x）=x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-5，
可令g（x）=f（x）+5=x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），
g（-x）=-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）
=-x+ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}$=-（x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x））
=-g（x），
則g（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)x∈[-2014，2014]時(shí)，設(shè)g（x）的最大值為g（a），
則最小值為g（-a）=-g（a），
即有f（x）的最大值為M=g（a）-5，
f（x）的最小值為m=g（-a）-5=-g（a）-5，
即有M+m=-10．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．