Question

19．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長為2，側(cè)面BCC₁B₁⊥底面ABC，∠B${\;}_{{1}_{\;}}$BC=60°，P為A₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥AB₁；
（2）求二面角C₁-B₁C-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥平面AOB₁，即可證明BC⊥AB₁；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C₁-B₁C-P的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）過B₁作B₁O⊥BC于O，
∵側(cè)面BCC₁B₁⊥平面ABC，
∴B₁O⊥平面ABC，
∵∠B₁BC=60°．BCC₁B₁是菱形，∴O為BC的中點(diǎn)．
∵AO⊥BC，B₁O⊥BC，
∴BC⊥平面AOB₁，
∵AB₁?平面AOB₁，
∴BC⊥AB₁；
解：（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則$A（-\sqrt{3}，0，0）$，B（0，-1，0），C（0，1，0），${A_1}（-\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$，${B_1}（0，0，\sqrt{3}）$，${C_1}（0，2，\sqrt{3}）$，
∵P為A₁C₁的中點(diǎn)，
∴P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$），
則平面C₁B₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
$\overrightarrow{{B_1}C}=（0，1，-\sqrt{3}）$．$\overrightarrow{CP}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面B₁CP的法向量$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$
令z=1，則$y=\sqrt{3}$，x=3，
則$\overrightarrow{m}$=（3，$\sqrt{3}$，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{{3}^{2}+3+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{3}$，
即二面角C₁-B₁C-P的余弦值是$\frac{3\sqrt{13}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法與應(yīng)用，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量利用向量法是解決二面角的常見方法．