在三棱錐M－ABC中，CM⊥平面ABC，MA＝MB，NA＝NB＝NC．

(Ⅰ)求證：AM⊥BC；

(Ⅱ)若∠AMB＝60°，求直線AM與CN所成的角．

答案：
解析：

　　證明：(Ⅰ)∵NA＝NB＝NC

　　∴N是△ABC外接圓的圓心，可得∠ACB＝90°，即BC⊥AC　2分

　　∵CM⊥平面ABC，BC平面ABC，

　　∴MC⊥BC　4分

　　∴BC⊥面MAC

　　∴BC⊥MA　6分

　　(Ⅱ)(文)取MB的中點P，連結(jié)CP，NP，則NP//AM，所以∠PNC是直線AM與CN所成的角，　8分

　　令A(yù)N＝NB＝NC＝1，

　　∴AM＝2，NP＝1，CP＝MB＝1

　　在△CPN中，CP＝NP＝CN＝1　10分

　　∴∠PNC＝60°　12分

　　(Ⅱ)(理)∵CM⊥面ABC，MA＝MB

　　∴CA＝CB

　　∴∠ANC＝∠BNC＝90°

　　∴AB⊥CN

　　連結(jié)MN，AB⊥MN

　　∴∠MNC為二面角M－AB－C的平面角．　8分

　　設(shè)NA＝NB＝NC＝1

　　在Rt△AMN中，MN＝ANtan∠MAN＝tan75°＝tan(45＋30°)＝2＋　10分

　　在Rt△MNC中，cos∠MNC＝

　　∴二面角M－AB－C的余弦值是2－　12分


練習(xí)冊系列答案
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在三棱錐M－ABC中，CM⊥平面ABC，MA＝MB，NA＝NB＝NC．

(Ⅰ)求證：AM⊥BC；

(Ⅱ)若∠AMB＝60°，求直線AM與CN所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省青島市2007年高三教學(xué)第一次統(tǒng)一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理 題型：044

在三棱錐M－ABC中，CM⊥平面ABC，MA＝MB，NA＝NB＝NC．

(Ⅰ)求證：AM⊥BC；

(Ⅱ)若∠AMB＝30°，求二面角M－AB－C的余弦值．

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如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)證明：線段PC的中點為球O的球心

 

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（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，

使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不

存在，試說明理由．

 

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