如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點(diǎn)，四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)證明：線段PC的中點(diǎn)為球O的球心

 

【答案】

  (1)證明：∵AC＝BC，M為AB的中點(diǎn)，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM.

∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴CM⊥平面PAB.

∵CM⊂平面PCM，

∴平面PAB⊥平面PCM.

(2)證明：由(1)知CM⊥平面PAB.

∵PM⊂平面PAB，

∴CM⊥PM.

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC.如圖，，取PC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN.在Rt△PAC中，點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn)，

∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn)，

∴MN＝PN＝NC.

∴PN＝NC＝AN＝MN.

∴點(diǎn)N是球O的球心，即線段PC的中點(diǎn)為球O的球心．

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•廣州一模）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）證明△PBC為直角三角形；
（2）求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．該三棱錐中有哪些直角三角形，哪些面面垂直（只寫結(jié)果，不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．
（1）判斷△PBC的形狀；
（2）證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）求證：BO⊥平面PAC
（2）證明：△PBC為直角三角形；
（3）求直線AP與平面PBC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB⊥AC，AB=AC=2，E為AC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BE與PC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-BE-C的平面角的余弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案