Question

13．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C，若$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，則此雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出直線l和兩個(gè)漸近線的交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，求得a和b的關(guān)系，根據(jù)c²-a²=b²，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．

解答 解：直線l：y=x+a與漸近線l₁：bx-ay=0交于B（$\frac{{a}^{2}}{b-a}$，$\frac{ab}{b-a}$），
l與漸近線l₂：bx+ay=0交于C（-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$，-$\frac{ab}{b+a}$），
∵A（a，0），$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴（$\frac{{a}^{2}}{b-a}$-a，$\frac{ab}{b-a}$）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$-$\frac{{a}^{2}}{b-a}$，-$\frac{ab}{b+a}$-$\frac{ab}{b-a}$），
∴$\frac{{a}^{2}}{b-a}$-a=$\frac{1}{2}$（-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$-$\frac{{a}^{2}}{b-a}$）
∴b=2a，
∴c²-a²=4a²，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=5，∴e=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．要求學(xué)生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用．