Question

8．已知直線l：x-y+9=0和橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求橢圓C的兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)；
（2）求以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且與直線l有公共點(diǎn)M的橢圓中長軸最短的橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，即可求得c的值，求得焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)；
（2）由橢圓的定義2a=|MF₁|+|MF₂|，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得a，則c=3，b²=a²-c²=36，即可求得橢圓方程．

解答 解：（1）由橢圓的參數(shù)方程消去參數(shù)θ得橢圓的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，…（4分）
則a²=12，b²=3，c²=a²-b²=9．
∴c=3．故F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）…（6分）
（2）設(shè)橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）
由2a=|MF₁|+|MF₂|，
則只需在直線l：x-y+9=0上找到點(diǎn)M使得|MF₁|+|MF₂|最小即可．
點(diǎn)F₁（-3，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是F₁′（-9，6），
|MF₁|+|MF₂|=|MF₁′|+|MF₂|=|F₁′F₂|
=$\sqrt{（-9-3）^{2}+（6-0）^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
故a=3$\sqrt{5}$．
又c=3，b²=a²-c²=36．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義及兩點(diǎn)之間的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．