Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為4的正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)，求得a與b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓當(dāng)成，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得m的值，求得直線l的方程．

解答 解：（1）橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則c=2，a=2c=4，
b²=a²-c²=12，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；（4分）
（2）設(shè)直線的方程為x=my+2，
代入橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²+12my-36=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），焦點(diǎn)F₂（2，0），則根據(jù)$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，得（2-x₁，-y₁）=2（x₂-2，y₂），
由此得-y₁=2y₂，
解方程得：y_1，2=$\frac{-6m±12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，則y₁+y₂=-$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
代入-y₁=2y₂，y₂=$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₂²=$\frac{18}{3{m}^{2}+4}$，
得5m²=4，故m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直線的方程為x±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$-2=0．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．