Question

7．已知不共線的三平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$兩兩所成的角相等，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，試求向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$的長度以及與$\overrightarrow{a}$的夾角．

Answer 1

分析 平面內(nèi)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$兩兩所成的角相等，得到三個(gè)向量所成的角都是$\frac{2π}{3}$，根據(jù)模長公式表示出要求的向量的模長，根據(jù)所給的條件得到模長的值；把所給的向量代入求模長的公式，根據(jù)已知向量的模長和向量之間的夾角求出向量的夾角的余弦值，得到兩個(gè)向量的夾角．

解答 解：∵不共線的平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$兩兩所成的角相等，
∴三個(gè)向量所成的角都是$\frac{2π}{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|²=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+$\overrightarrow{c}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$
=1+4+9+2×1×2×（-$\frac{1}{2}$）+2×2×3×（-$\frac{1}{2}$）+2×3×1×（-$\frac{1}{2}$）=3，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$；
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角的為θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1-1-3}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{5π}{6}$，
向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$的夾角是$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用向量的數(shù)量積表示向量的夾角和向量的模長公式的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確利用向量的模長公式和求夾角的公式．本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．