Question

【題目】設(shè)函數(shù)，（）.

（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由. （參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；時(shí)，的增區(qū)間為.（III）的最小值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）代入化簡方程得，由二次方程解得或，再根據(jù)指對數(shù)關(guān)系得或.（Ⅱ）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)并明確函數(shù)定義域：，；再討論導(dǎo)函數(shù)不變號情況：當(dāng)時(shí)，，的增區(qū)間為；最后討論導(dǎo)函數(shù)變號時(shí)符號變化規(guī)律：當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得.（III）存在性問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：，利用導(dǎo)數(shù)先求函數(shù)最小值：本題難點(diǎn)是最小值點(diǎn)不能解出，只能得到其所在區(qū)間，為使值能確定最小值，需精確考慮最小值點(diǎn)所在區(qū)間，如細(xì)化到

試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，方程即為，去分母，得

，解得或， …………2分

故所求方程的根為或. ………4分

（2）因?yàn)?/span>，

所以（）， ……6分

①當(dāng)時(shí)，由，解得；

②當(dāng)時(shí)，由，解得；

③當(dāng)時(shí)，由，解得；

④當(dāng)時(shí)，由，解得；

⑤當(dāng)時(shí)，由，解得.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；

時(shí)，的增區(qū)間為. ………10分

（3）方法一：當(dāng)時(shí)，，，

所以單調(diào)遞增，，，

所以存在唯一，使得，即， ……………12分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，

記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增， ……14分

所以，即，

由，且為整數(shù)，得，

所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. ………16分

方法二：當(dāng)時(shí)，，所以，

由得，當(dāng)時(shí)，不等式有解， ……………12分

下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，即證恒成立.

顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

只需證明當(dāng)時(shí)，恒成立.

即證明.令，

所以，由，得， ………14分

當(dāng)，；當(dāng)，；

所以.

所以當(dāng)時(shí)，恒成立.

綜上所述，存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .……………16分