Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在兩個(gè)不相等的正數(shù),,滿足,證明:.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)可得,令解得,,由的定義域?yàn)?/span>,分別討論與時(shí)的情況即可；

（2）由（1）可判定當(dāng)存在兩個(gè)不相等的正數(shù),,滿足時(shí),,

設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可判斷當(dāng)時(shí),,設(shè)設(shè),則,,將代入可得,由可得,根據(jù)的單調(diào)性可得,則,利用其即可證明

（1）由題,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

,

令,即,解得,,

當(dāng),即時(shí),在上,所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng),即時(shí),在上,在上,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

（2）證明:由（1）,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,則不存在兩個(gè)不相等的正數(shù),,滿足,所以,

設(shè),

則,

令,解得,

所以當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,

所以,

所以當(dāng)時(shí),,

即當(dāng)時(shí),,

由（1）得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

不妨設(shè),則,,

所以,

又因?yàn)?/span>,所以,

因?yàn)?/span>,所以,即,

因?yàn)?/span>,,,

所以