Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-2x．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞x²；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=kx²-2x無(wú)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的極值即可；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-x²，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)性，求出g（x）＞g（0），從而證出結(jié)論；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即x＞0時(shí)，e^x＞kx²恒成立，令h（x）=e^x-kx²，（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定k的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-2x（x∈R），
∴f′（x）=e^x-2；
令f′（x）=0，即e^x-2=0，
解得x=ln2，
∴函數(shù)f（x）的極值是：f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2；
（2）證明：設(shè)函數(shù)g（x）=e^x-x²，
∴g′（x）=e^x-2x；
由（1）知f（x）=e^x-2x在x=ln2取得極小值，
∴g′（x）≥f（ln2）=eln2-ln2=2-ln2＞0，
∴g（x）是R上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=1＞0，
∴e^x＞x²；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=kx²-2x無(wú)解，
即x＞0時(shí)，e^x=kx²無(wú)解，
即x＞0時(shí)，e^x＞kx²恒成立，
令h（x）=e^x-kx²，（x＞0），h′（x）=e^x-2kx，
①k≤0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，
h（x）＞h（0）=1＞0，滿足題意；
②k＞0時(shí)，由（2）得：k≤1時(shí)，符合題意，
綜上，k≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．