Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ （x≠0）．
（1）判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)在（2，+∞）上的單調(diào)性；
（3）解不等式f（2x2+5x+8）+f（x﹣3﹣x2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x+ 的定義域為：{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，

且f（﹣x）=﹣x﹣ =﹣（x+ ）=﹣f（x）恒成立，

所以函數(shù)為奇函數(shù)

（2）解：函數(shù)f（x）=x+ 在（2，+∞）上為增函數(shù)，理由如下：

證法一：任取x1，x2∈（2，+∞）

則f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（ ）

∵x1＜x2

∴x1﹣x2＜0，

又∵x1，x2∈（2，+∞），

∴x1x2＞4，x1x2﹣4＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函數(shù)在（2，+∞）上為增函數(shù)，

證法二：∵f′（x）=1﹣ ＞0在（2，+∞）上恒成立，

故函數(shù)在（2，+∞）上為增函數(shù)

（3）解：因為2x2+5x+8＞2，x2﹣x+3＞2，

∴原不等式可化為：2x2﹣5x+8＜x2﹣x+3，

∴﹣5＜x＜﹣1

所以不等式的解集為：（﹣5，﹣1）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷函數(shù)為奇函數(shù)．（2）函數(shù)f（x）=x+ 在（2，+∞）上為增函數(shù)，證法一：利用定義法，可證明結(jié)論；證法二：利用導(dǎo)數(shù)法，可證明結(jié)論；（3）由2x2+5x+8＞2，x2﹣x+3＞2，故原不等式可化為：2x2﹣5x+8＜x2﹣x+3，解得答案．
【考點精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集．