Question

（本小題滿分12分）

設函數f (x)＝，其中a∈R．

（1）若a＝1，f (x)的定義域為［0，3］，求f (x)的最大值和最小值．

（2）若函數f (x)的定義域為區(qū)間（0，＋∞），求a的取值范圍使f (x)在定義域內是單調減函數．

 

Answer 1

【答案】

（1）f (x)_max=，f (x)_min＝－1；（2）a＜－1。

【解析】

試題分析：f (x)＝＝＝a－，

設x₁，x₂∈R，則f (x₁)－f (x₂)＝＝．        ……2分

（1）當a＝1時，設0≤x₁＜x₂≤3，則f (x₁)－f (x₂)＝．

又x₁－x₂＜0，x₁＋1＞0，x₂＋1＞0，所以f (x₁)－f (x₂)＜0，

∴f (x₁)＜f (x₂)，                                   ……4分

所以f (x)在［0，3］上是增函數，所以f (x)_max＝f (3)＝1－＝；

f (x)_min＝f (0)＝1－＝－1．                        ……7分

（2）設x₁＞x₂＞0，則x₁－x₂＞0，x₁＋1＞0，x₂＋1＞0

要f (x)在（0，＋∞）上是減函數，只要f (x₁)－f (x₂)＜0

而f (x₁)－f (x₂)＝，所以當a＋1＜0即a＜－1時，有f (x₁)－f (x₂)＜0，所以f (x₁)＜f (x₂)，

所以當a＜－1時，f (x)在定義域（0，＋∞）上是單調減函數．       ……12分

考點：本題考查函數的性質：單調性；定義域；最值。

點評：對于形如的函數，我們常采取分離常數法化為的形式。而的圖像可以有反比例函數的圖像經過平移伸縮變換得到。