Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（1）=-

a

2

，且3a＞2c＞2b．
（1）求證：a＞0時，

b

a

的取值范圍；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點；
（3）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)f（1）=0，可得a，b，c的關(guān)系，再根據(jù)3a＞2c＞2b，將其中的c代換成a與b表示，即可求得

b

a

的取值范圍；
（2）求出f（2）的值，根據(jù)已知條件，分別對c的正負情況進行討論即可；
（3）根據(jù)韋達定理，將|x₁-x₂|轉(zhuǎn)化成用兩個根表示，然后轉(zhuǎn)化成用

b

a

表示，運用（1）的結(jié)論，即可求得|x₁-x₂|的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（1）=a+b+c=-

a

2

，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
從而a＞0，b＜0，
又2c=-3a-2b及3a＞2c＞2b知3a＞-3a-2b＞2b
∵a＞0，∴3＞-3-

2b

a

＞2

b

a

，
即-3＜

b

a

＜-

3

4

．
（2）根據(jù)題意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a-c=a-c．
下面對c的正負情況進行討論：
①當c＞0時，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=-

a

2

＜0
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點；
②當c≤0時，∵a＞0，
∴f（1）=-

a

2

＜0，f（2）=a-c＞0
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個零點；
綜合①②得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點；
（3）．∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根．
故x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

=

- 3a+2b 2

a

=-

3

2

-

b

a

從而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

．
∵-3＜

b

a

＜-

3

4

，
∴

2

≤|x₁-x₂|＜

57

4

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮；同時考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點等價于對應方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．