Question

在△ABC中，已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且C=

1

2

A．
（1）若△ABC為銳角三角形，求

c

a

的取值范圍；
（2）若cosA=

1

8

，a+c=20，求b的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理、二倍角的正弦函數(shù)公式、題意化簡表示出

c

a

，由三角形為銳角三角形且A=2C，可求出C的取值范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質得出余弦函數(shù)cosC的范圍，進行求出

c

a

的取值范圍；
（2）由題意和二倍角的余弦公式求出cos

A

2

、cosC的值，由（1）可得

c

a

的值，再結合條件求出a和c，利用余弦定理列出關于b的方程，求出b的值．

解答： 解：（1）由C=

1

2

A得，A=2C，由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，
所以

c

a

=

sinC

sinA

=

sinC

sin2C

=

1

2cosC

，
在△ABC為銳角三角形中，可得三個角都為銳角，
由A=2C，得到A＞C，可得A＞60°，
即2C＞60°，解得：C＞30°，
同時A＜90°，即2C＜90°，解得：C＜45°，
所以30°＜C＜45°，即cosC∈（

2

2

，

3

2

），
所以

3

3

＜

1

2cosC

＜

2

2

，
則

c

a

的取值范圍是（

3

3

，

2

2

）；
（2）因為若cosA=

1

8

，所以cos²

A

2

=

1+cosA

2

=

9

16

，
由0＜A＜π得0＜

A

2

＜

π

2

，則cos

A

2

＞0，即cos

A

2

=

3

4

，
因為C=

1

2

A，所以cosC=cos

A

2

=

3

4

，
由（1）可得，

c

a

=

1

2cosC

=

2

3

，
因為a+c=20，解得a=12、c=8，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則12×12=b²+64-16b×

1

8

，化簡得b²-2b-80=0，
解得b=10或-8（舍去），
所以b的值是10．

點評：本題考查正弦、弦定理的靈活應用，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，容易忽略三角形中的內角的范圍．